Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{1 + i} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.2

Multipliez $1 - i$ par $1$ .

$\frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - i}{1 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 - - 1} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.3

Divisez la fraction $\frac{1 - i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{- i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Étape 1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{1 - i}$ par le conjugué de $1 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Étape 1.6

Multipliez.

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Étape 1.6.1

Associez.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 1.6.2

Multipliez $1 + i$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.3.1

Développez $(1 - i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Étape 1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Étape 1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez

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Étape 1.6.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 1.6.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i i}$

Étape 1.6.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Étape 1.6.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.6.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Étape 1.6.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.7

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - i^{2}}$

Étape 1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - - 1}$

Étape 1.6.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1}$

Étape 1.6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{2}$

Étape 1.7

Divisez la fraction $\frac{1 + i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Étape 1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - i - 1 - i}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 - i - i}{2}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $i$ de $0$ .

$\frac{- i - i}{2}$

Étape 2.3

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$\frac{- 2 i}{2}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{2 (- i)}{2}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- i)}{2 (1)}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- i)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- i}{1}$

Étape 2.4.2.4

Divisez $- i$ par $1$ .

$- i$