Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{x^{2} - x - 2} - \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{(x - 2) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 1) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{(x - 2) (x + 1)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x - 2) (x + 1) (x - 3)} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x - 2) (x + 1) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 3) (x - 2) (x + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 3) (x - 2) (x + 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 - x \cdot x - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 3 - x^{2} - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - x^{2} - x}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{- 3 - x^{2} + 0}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 6.5

Additionnez $- 3 - x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 3 - x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) - x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- 1 (3) - (x^{2})}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3 + x^{2})}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$