Pré-calcul Exemples

$\frac{1 + \sin (- x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

Étape 1.2

Comme $\cos (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- x)$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

Étape 1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - - \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- - \sin (x)$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + 1 \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

Étape 1.4

Comme $\cos (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- x)$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.2.4

Multipliez $- \sin (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.5

Développez $(- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 (1 + \cos (x)) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.6.2

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.8

Soustrayez $\cos (x)$ de $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.9

Soustrayez $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.10

Soustrayez $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.11

Soustrayez $\sin (x) \cos (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{0 - 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.12

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $0$ .

$\frac{- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.13

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 6.13.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.13.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6.13.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))$ .

$\frac{- 2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$