Pré-calcul Exemples

$\frac{2}{x^{2} - x - 2} + \frac{10}{x^{2} + 2 x - 8}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{10}{x^{2} + 2 x - 8}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 1) (x + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 1) (x + 4)} + \frac{10}{(x - 2) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{10}{(x - 2) (x + 4)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 1) (x + 4)} + \frac{10 (x + 1)}{(x - 2) (x + 4) (x + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)} + \frac{10 (x + 1)}{(x - 2) (x + 4) (x + 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 4) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)} + \frac{10 (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 4) + 10 (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 4) + 10 (x + 1)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (x + 1)$ .

$\frac{2 (x + 4) + 2 (5 (x + 1))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 4) + 2 (5 (x + 1))$ .

$\frac{2 (x + 4 + 5 (x + 1))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x + 4 + 5 x + 5 \cdot 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 4 + 5 x + 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.4

Additionnez $x$ et $5 x$ .

$\frac{2 (6 x + 4 + 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.5

Additionnez $4$ et $5$ .

$\frac{2 (6 x + 9)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.6

Factorisez $3$ à partir de $6 x + 9$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 (2 x) + 9)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.6.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{2 (3 (2 x) + 3 (3))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{2 (3 (2 x + 3))}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

$\frac{2 \cdot 3 (2 x + 3)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$

Étape 6.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 (2 x + 3)}{(x + 1) (x + 4) (x - 2)}$