Pré-calcul Exemples

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 y^{2} x^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$ par $\frac{3 y^{2} x^{2}}{3 y^{2} x^{2}}$ .

$\frac{3 y^{2} x^{2}}{3 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{3 y^{2} x^{2} (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y^{2} x^{2} \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y (3 y x^{2}) \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 y x^{2}) \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y x^{2} x + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 y (x^{1} x^{2}) + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 y x^{1 + 2} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{3 y x^{3} + x (3 y^{2} x) \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y x^{3} + x (3 y^{2} x) \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x (- y)}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 y^{2} x y}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x (y^{2} y^{1})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{2 + 1}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.9

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun de $3 x^{2}$ .

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Étape 3.10.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 x^{2} (y^{2}) \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 x^{2} y^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $3 y^{2}$ .

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Étape 3.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3 y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

Étape 3.11.2

Factorisez $3 y^{2}$ à partir de $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} (x^{2}) \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

Étape 3.11.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

Étape 3.11.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $3 y x$ à partir de $3 y x^{3} - 3 x y^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $3 y x$ à partir de $3 y x^{3}$ .

$\frac{3 y x (x^{2}) - 3 x y^{3}}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 4.1.2

Factorisez $3 y x$ à partir de $- 3 x y^{3}$ .

$\frac{3 y x (x^{2}) + 3 y x (- y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 4.1.3

Factorisez $3 y x$ à partir de $3 y x (x^{2}) + 3 y x (- y^{2})$ .

$\frac{3 y x (x^{2} - y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - x^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $x + y$ et $y + x$ .

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Étape 6.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y x (x - y)}{y - x}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $x - y$ et $y - x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{3 y x (- 1 (- x) - y)}{y - x}$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{3 y x (- 1 (- x) - (y))}{y - x}$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{y - x}$

Étape 6.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Étape 6.2.6

Divisez $3 y x \cdot (- 1)$ par $1$ .

$3 y x \cdot (- 1)$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 y x$