Pré-calcul Exemples

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\cos^{4} (x)$ comme ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $1 + \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Étape 2.2

Divisez $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ par $1$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Étape 3

Développez $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.1.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.1.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Étape 4.1.5

Multipliez $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 4.1.5.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 4.1.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 4.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 4.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 4.2

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - \cos^{2} (x)$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{2} (x)$