Pré-calcul Exemples

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} = - 9$

Étape 1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $49^{x}$ comme ${(7^{2})}^{x}$ .

${(7^{2})}^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Étape 2.2

Réécrivez ${(7^{2})}^{x}$ comme ${(7^{x})}^{2}$ .

${(7^{x})}^{2} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Étape 2.3

Laissez $u = 7^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $7^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 2.4.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 2.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Étape 2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7^{x}$ .

${(7^{x} - 3)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez le $7^{x} - 3$ égal à $0$ .

$7^{x} - 3 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$7^{x} = 3$

Étape 4.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{x}) = \ln (3)$

Étape 4.3

Développez $\ln (7^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (7) = \ln (3)$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (3)$ par $\ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (3)$ par $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Étape 4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Forme décimale :

$x = 0.56457503 \dots$