Pré-calcul Exemples

$4^{2 x + 1} - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $4^{2 x + 1}$ comme $4^{2 x} \cdot 4^{1}$ .

$4^{2 x} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $4^{2 x}$ comme ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Étape 1.3

Laissez $u = 4^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $4^{x}$ par $u$ .

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Étape 1.3.1

Évaluez l’exposant.

$u^{2} \cdot 4 - 17 \cdot u + 4 = 0$

Étape 1.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $u^{2}$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Étape 1.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $- 1$ plus $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Étape 1.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Étape 1.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4^{x}$ .

$(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

$4^{x} - 4 = 0$

Étape 3

Définissez $4 \cdot 4^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $4 \cdot 4^{x} - 1$ égal à $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $4$ par $4^{x}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4^{1 + x} - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4^{1 + x} = 1$

Étape 3.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{1 + x}) = \ln (1)$

Étape 3.2.4

Développez $\ln (4^{1 + x})$ en déplaçant $1 + x$ hors du logarithme.

$(1 + x) \ln (4) = \ln (1)$

Étape 3.2.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez $(1 + x) \ln (4)$ .

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Étape 3.2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Étape 3.2.5.1.2

Multipliez $\ln (4)$ par $1$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Étape 3.2.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.6.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = 0$

Étape 3.2.7

Remettez dans l’ordre $\ln (4)$ et $x \ln (4)$ .

$x \ln (4) + \ln (4) = 0$

Étape 3.2.8

Soustrayez $\ln (4)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (4) = - \ln (4)$

Étape 3.2.9

Divisez chaque terme dans $x \ln (4) = - \ln (4)$ par $\ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 3.2.9.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (4) = - \ln (4)$ par $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 3.2.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 3.2.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 3.2.9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 3.2.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.9.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 3.2.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 3.2.9.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$x = - 1$

Étape 4

Définissez $4^{x} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4^{x} - 4$ égal à $0$ .

$4^{x} - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4^{x} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$4^{x} = 4$

Étape 4.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$4^{x} = 4^{1}$

Étape 4.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$