Pré-calcul Exemples

$3^{2 x} + 35 = 12 (3^{x})$

Étape 1

Soustrayez $12 \cdot 3^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$3^{2 x} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Étape 2

Réécrivez $3^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(3^{x})}^{2} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Étape 3

Remplacez $3^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + 35 - 12 u = 0$

Étape 4

Déplacez $35$ .

$u^{2} - 12 u + 35 = 0$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Factorisez $u^{2} - 12 u + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 7, - 5$

Étape 5.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 7) (u - 5) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Étape 5.3

Définissez $u - 7$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $u - 7$ égal à $0$ .

$u - 7 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 7$

Étape 5.4

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 7) (u - 5) = 0$ vraie.

$u = 7, 5$

Étape 6

Remplacez $u$ par $7$ dans $u = 3^{x}$ .

$7 = 3^{x}$

Étape 7

Résolvez $7 = 3^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 7$ .

$3^{x} = 7$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (7)$

Étape 7.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (7)$

Étape 7.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (7)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 7.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (7)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Étape 7.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $5$ dans $u = 3^{x}$ .

$5 = 3^{x}$

Étape 9

Résolvez $5 = 3^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 5$ .

$3^{x} = 5$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (5)$

Étape 9.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (5)$

Étape 9.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (5)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 9.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (5)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 9.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Étape 9.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Étape 10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Forme décimale :

$x = 1.77124374 \dots, 1.46497352 \dots$