Pré-calcul Exemples

$7^{x^{2}} = 8^{9 - x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (7^{x^{2}}) = \ln (8^{9 - x})$

Étape 2

Développez $\ln (7^{x^{2}})$ en déplaçant $x^{2}$ hors du logarithme.

$x^{2} \ln (7) = \ln (8^{9 - x})$

Étape 3

Développez $\ln (8^{9 - x})$ en déplaçant $9 - x$ hors du logarithme.

$x^{2} \ln (7) = (9 - x) \ln (8)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (7) = 9 \ln (8) - x \ln (8)$

Étape 4.2

Ajoutez $x \ln (8)$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) = 9 \ln (8)$

Étape 4.3

Soustrayez $9 \ln (8)$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) - 9 \ln (8) = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = \ln (7)$ , $b = \ln (8)$ et $c = - 9 \ln (8)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln^{2} (8) - 4 \cdot (\ln (7) \cdot (- 9 \ln (8)))}}{2 \ln (7)}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Factorisez $\ln (8)$ à partir de $\ln^{2} (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $\ln (8)$ à partir de $\ln^{2} (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot (- 9 \ln (8))}}{2 \ln (7)}$

Étape 4.6.1.2

Factorisez $\ln (8)$ à partir de $- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $\ln (8)$ à partir de $\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Étape 4.6.2

Multipliez $- 9$ par $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Forme décimale :

$x = 2.61260549 \dots, - 3.68122705 \dots$