Pré-calcul Exemples

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2}$

Étape 1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2^{1}}$

Étape 2

Placez $2^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$8^{x^{2} - 2 x} = 2^{- 1}$

Étape 3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{3 (x^{2} - 2 x)} = 2^{- 1}$

Étape 4

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$3 (x^{2} - 2 x) = - 1$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $x^{2} - 2 x$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - 2 x = - \frac{1}{3}$

Étape 5.2

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} = 0$

Étape 5.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 6$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $12$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Forme décimale :

$x = 1.81649658 \dots, 0.18350341 \dots$