Pré-calcul Exemples

$e^{2 x} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{2} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Étape 3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Définissez le $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 3.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 4

Remplacez $u$ par $3$ dans $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Étape 5

Résolvez $3 = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Étape 5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (3)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (3)$

Forme décimale :

$x = 1.09861228 \dots$