Pré-calcul Exemples

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 7$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $49$ et $12$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

Étape 3.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ dans $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Étape 5

Résolvez $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Étape 5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Étape 6

Remplacez $u$ par $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ dans $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

Étape 7.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Aucune solution

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Forme décimale :

$x = - 0.90356001 \dots$