Pré-calcul Exemples

$\cot^{2} (x) - \cot (x) = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \cot (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cot (x)$ par $u$ .

$u^{2} - u = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} - u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cot (x)$ .

$\cot (x) (\cot (x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 3.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cot (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cot (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cot (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = 1$

Étape 4.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $arccot (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 4.2.4

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.2.5.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cot (x) (\cot (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

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Étape 6.1

Consolidez $\frac{π}{2} + π n$ et $\frac{3 π}{2} + π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$