Pré-calcul Exemples

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Étape 1

Réécrivez $e^{4 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Étape 2

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Étape 3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $u^{4}$ comme ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Étape 4.2.2

Laissez $u = u^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $u^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $u^{2} - 6 u - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 8, 2$

Étape 4.2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Étape 4.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Étape 4.4

Définissez $u^{2} - 8$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $u^{2} - 8$ égal à $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $u^{2} - 8 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.4.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} = 8$

Étape 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Étape 4.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{8}$ .

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Étape 4.4.2.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.4.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5

Définissez $u^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $u^{2} + 2$ égal à $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $u^{2} + 2 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} = - 2$

Étape 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 4.5.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 4.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 4.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

Étape 4.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = i \sqrt{2}$

Étape 4.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - i \sqrt{2}$

Étape 4.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ vraie.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 5

Remplacez $u$ par $2 \sqrt{2}$ dans $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Étape 6

Résolvez $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Étape 6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Étape 7

Remplacez $u$ par $- 2 \sqrt{2}$ dans $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Étape 8

Résolvez $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Étape 8.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 2 \sqrt{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 8.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Aucune solution

Étape 9

Remplacez $u$ par $i \sqrt{2}$ dans $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Étape 10

Résolvez $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Étape 10.3

Développez le côté gauche.

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Étape 10.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Étape 10.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Étape 10.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Étape 10.4

Développez le côté droit.

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Étape 10.4.1

Réécrivez $\ln (i \sqrt{2})$ comme $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Étape 10.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.4.3

Développez $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Étape 10.4.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 10.5

Simplifiez

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Étape 10.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (2)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Étape 10.5.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (2)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Étape 11

Remplacez $u$ par $- i \sqrt{2}$ dans $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Étape 12

Résolvez $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Étape 12.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Étape 12.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Étape 12.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- i \sqrt{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 12.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - i \sqrt{2}$

Aucune solution

Étape 13

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$