Pré-calcul Exemples

$e^{x} (8 - e^{x}) = 16$

Étape 1

Simplifiez $e^{x} (8 - e^{x})$ .

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Étape 1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} \cdot 8 + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez $8$ à gauche de $e^{x}$ .

$8 \cdot e^{x} + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \cdot e^{x} - e^{x} e^{x} = 16$

Étape 1.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$8 e^{x} - (e^{x} e^{x}) = 16$

Étape 1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 e^{x} - e^{x + x} = 16$

Étape 1.2.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$8 e^{x} - e^{2 x} = 16$

Étape 2

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

$8 e^{x} - {(e^{x})}^{2} = 16$

Étape 3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$8 u - u^{2} = 16$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $8 u$ et $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 8 u = 16$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 8 u - 16 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 8 u - 16$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 8 u - 16 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $8 u$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 16 = 0$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - (- 8 u)$ .

$- (u^{2} - 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 8 u) - 1 (16)$ .

$- (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 4$ .

$- {(u - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- {(u - 4)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- {(u - 4)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(u - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(u - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Divisez ${(u - 4)}^{2}$ par $1$ .

${(u - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez le $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 5.5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 6

Remplacez $u$ par $4$ dans $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $4 = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Étape 7.3

Développez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Étape 7.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Étape 7.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (4)$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (4)$

Forme décimale :

$x = 1.38629436 \dots$