Pré-calcul Exemples

$e^{- x} = 125^{2 x + 3}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (125^{2 x + 3})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$- x \ln (e) = \ln (125^{2 x + 3})$

Étape 2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (125^{2 x + 3})$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x = \ln (125^{2 x + 3})$

Étape 3

Développez $\ln (125^{2 x + 3})$ en déplaçant $2 x + 3$ hors du logarithme.

$- x = (2 x + 3) \ln (125)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x = 2 x \ln (125) + 3 \ln (125)$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) = x$

Étape 6

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) - x = 0$

Étape 7

Ajoutez $3 \ln (125)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x \ln (125) - x = 3 \ln (125)$

Étape 8

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \ln (125) - x$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \ln (125)$ .

$x (- 2 \ln (125)) - x = 3 \ln (125)$

Étape 8.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1 = 3 \ln (125)$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1$ .

$x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ par $- 2 \ln (125) - 1$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ par $- 2 \ln (125) - 1$ .

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2 \ln (125) - 1$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (125)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1}$

Étape 9.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1 (1)}$

Étape 9.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (125)) - 1 (1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125) + 1)}$

Étape 9.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 9.3.4.1

Réécrivez $- (2 \ln (125) + 1)$ comme $- 1 (2 \ln (125) + 1)$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 1 (2 \ln (125) + 1)}$

Étape 9.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Forme décimale :

$x = - 1.35924252 \dots$