Pré-calcul Exemples

$e^{x} + 2 e^{- x} = 3$

Étape 1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} + 2 {(e^{x})}^{- 1} = 3$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + 2 u^{- 1} = 3$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 2 (\frac{1}{u}) = 3$

Étape 3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{2}{u} = 3$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{2}{u} = 3$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{2}{u} = 3$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{2}{u} u = 3 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{2}{u} u = 3 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{2}{u} u = 3 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 2 = 3 u$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $3 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 2 - 3 u = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez $u^{2} + 2 - 3 u$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 4.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Étape 4.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 4.3.4

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 4.3.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 4.3.5

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.5.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 4.3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 4.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 2, 1$

Étape 5

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Étape 6

Résolvez $2 = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 7

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Étape 8

Résolvez $1 = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Étape 8.3

Développez le côté gauche.

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Étape 8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Étape 8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (1)$

Étape 8.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (2), 0$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (2), 0$

Forme décimale :

$x = 0.69314718 \dots, 0$