Pré-calcul Exemples

$\sin^{2} (3 x) - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (3 x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\sin (3 x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Étape 1.2

Appliquez l’identité d’angle triple du sinus.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Étape 1.3

Additionnez $3 \sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Étape 1.4

Appliquez l’identité d’angle triple du sinus.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 1.5

Soustrayez $\sin (x)$ de $3 \sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.6

Développez $(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $\sin^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.2.1

Déplacez $\sin^{3} (x)$ .

$- 4 \cdot (- 4 (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x))) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 \cdot (- 4 {\sin (x)}^{3 + 3}) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{6} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.4.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{3} (x)$ .

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Étape 1.7.1.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 \sin^{6} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 3} \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{4} (x) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.6.1

Déplacez $\sin^{3} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.6.2

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 1.7.1.6.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 {\sin (x)}^{3 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.7

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.8

Multipliez $4 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

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Étape 1.7.1.8.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin (x) \sin (x) = 0$

Étape 1.7.1.8.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.8.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Étape 1.7.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Étape 1.7.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 1.7.2

Soustrayez $16 \sin^{4} (x)$ de $- 8 \sin^{4} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $8 \sin^{2} (x)$ à partir de $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $8 \sin^{2} (x)$ à partir de $16 \sin^{6} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $8 \sin^{2} (x)$ à partir de $- 24 \sin^{4} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $8 \sin^{2} (x)$ à partir de $8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $8 \sin^{2} (x)$ à partir de $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x))$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $8 \sin^{2} (x)$ à partir de $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $\sin^{4} (x)$ comme ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 {(\sin^{2} (x))}^{2} - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Étape 2.3

Laissez $u = \sin^{2} (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin^{2} (x)$ par $u$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Étape 2.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 u$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Étape 2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$8 \sin^{2} (x) ((2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1) = 0$

Étape 2.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$8 \sin^{2} (x) (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Étape 2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 2.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Étape 2.7

Factorisez.

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Étape 2.7.1

Factorisez.

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Étape 2.7.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (x)$ et $b = 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1))) = 0$

Étape 2.7.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Étape 2.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\sin^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin^{2} (x)$ égal à $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 4.2.6

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $2 \sin^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 \sin^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.2.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.3

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.2.7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 5.2.8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 5.2.8.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 5.2.8.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 5.2.8.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.8.6.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.8.6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.6.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 5.2.8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 5.2.8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 5.2.8.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 6.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 6.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 6.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.7.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = 1$

Étape 7.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 7.2.4

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.5.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 7.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 7.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ et $\frac{π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.3

Consolidez $π n$ et $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9.4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$