Pré-calcul Exemples

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Étape 2

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Étape 3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Étape 10.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Étape 10.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 10.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 10.4.2

L’angle résultant de $2.76685822$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2.76685822$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 11.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , pour tout entier $n$