Pré-calcul Exemples

$- \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) - 2$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $2 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = - 2$

Étape 1.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 2

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- (1 - {(u)}^{2}) - 2 u + 2 = 0$

Étape 3.2

Simplifiez $- (1 - u^{2}) - 2 u + 2$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- - u^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 + 1 u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$- 1 + u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 3.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 3.3.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez le $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 3.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 3.6

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 1$

Étape 3.7

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 3.8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 3.10

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 3.11

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.11.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.11.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.12

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$