Pré-calcul Exemples

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $64$ et $16$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ .

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Étape 8.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\sin (x) = 8.47213595$

Étape 8.2

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $8.47213595$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ .

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Étape 9.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\sin (x) = - 0.47213595$

Étape 9.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Évaluez $\arcsin (- 0.47213595)$ .

$x = - 0.49171223$

Étape 9.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 9.5.2

L’angle résultant de $3.63330488$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 3.63330488$

Étape 9.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 9.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 9.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.49171223$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.49171223 + 2 π$

Étape 9.7.2

Soustrayez $0.49171223$ de $2 π$ .

$5.79147307$

Étape 9.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.79147307$

Étape 9.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , pour tout entier $n$