Pré-calcul Exemples

$\sqrt{2 \sqrt{x + 1}} = \sqrt{3 x - 5}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 \sqrt{x + 1}}}^{2} = {\sqrt{3 x - 5}}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 \sqrt{x + 1}}$ comme ${(2 \sqrt{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \sqrt{x + 1})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{3 x - 5}}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(2 \sqrt{x + 1})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 \sqrt{x + 1})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \sqrt{x + 1})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 x - 5}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 x - 5}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{1} = {\sqrt{3 x - 5}}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$2 \sqrt{x + 1} = {\sqrt{3 x - 5}}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{3 x - 5}}^{2}$ comme $3 x - 5$ .

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Étape 2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 5}$ comme ${(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{x + 1} = {({(3 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{x + 1} = {(3 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \sqrt{x + 1} = {(3 x - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{x + 1} = {(3 x - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{x + 1} = {(3 x - 5)}^{1}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez

$2 \sqrt{x + 1} = 3 x - 5$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 1) = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x + 4 = {(3 x - 5)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(3 x - 5)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(3 x - 5)}^{2}$ comme $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$4 x + 4 = (3 x - 5) (3 x - 5)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(3 x - 5) (3 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 = 3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x + 4 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 4.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x + 4 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 4.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x + 4 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 4.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 x + 4 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$4 x + 4 = 9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 4.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$4 x + 4 = 9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5$

Étape 4.3.1.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$4 x + 4 = 9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25$

Étape 4.3.1.3.2

Soustrayez $15 x$ de $- 15 x$ .

$4 x + 4 = 9 x^{2} - 30 x + 25$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 x^{2} - 30 x + 25 = 4 x + 4$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 30 x + 25 - 4 x = 4$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 30 x$ .

$9 x^{2} - 34 x + 25 = 4$

Étape 5.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 34 x + 25 - 4 = 0$

Étape 5.4

Soustrayez $4$ de $25$ .

$9 x^{2} - 34 x + 21 = 0$

Étape 5.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 21 = 189$ et dont la somme est $b = - 34$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $- 34$ à partir de $- 34 x$ .

$9 x^{2} - 34 x + 21 = 0$

Étape 5.5.1.2

Réécrivez $- 34$ comme $- 7$ plus $- 27$

$9 x^{2} + (- 7 - 27) x + 21 = 0$

Étape 5.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} - 7 x - 27 x + 21 = 0$

Étape 5.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 x^{2} - 7 x) - 27 x + 21 = 0$

Étape 5.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (9 x - 7) - 3 (9 x - 7) = 0$

Étape 5.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x - 7$ .

$(9 x - 7) (x - 3) = 0$

Étape 5.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 5.7

Définissez $9 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $9 x - 7$ égal à $0$ .

$9 x - 7 = 0$

Étape 5.7.2

Résolvez $9 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.7.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 7$

Étape 5.7.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 7$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 7$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{7}{9}$

Étape 5.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{7}{9}$

Étape 5.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{9}$

Étape 5.8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 x - 7) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{7}{9}, 3$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 \sqrt{x + 1}} = \sqrt{3 x - 5}$ vrai.

$x = 3$