Pré-calcul Exemples

$\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{4}{5}} = 256$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- \frac{5}{4}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Étape 2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$x^{\frac{- 4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$x^{\frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$x^{\frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.1.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{- - 1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez $\pm 256^{- \frac{5}{4}}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \frac{1}{256^{\frac{5}{4}}}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Réécrivez $256$ comme $4^{4}$ .

$x = \pm \frac{1}{{(4^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 2.2.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Étape 2.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Étape 2.2.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{1}{4^{5}}$

Étape 2.2.2.1.2.4

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$x = \pm \frac{1}{1024}$

Étape 2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{1024}$

Étape 2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{1024}$

Étape 2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{1024}, - \frac{1}{1024}$

Étape 3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ vrai.

$x = \frac{1}{1024}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{1024}$

Forme décimale :

$x = 0.00097656 \dots$