Pré-calcul Exemples

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4}$

Étape 2.2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$1 \cdot 4 = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$

Étape 2.3.2

Placez les termes contenant $x$ du côté gauche et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1 \cdot 4$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Étape 2.3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.3.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.3.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.4.2.1

Simplifiez $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.3.4.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 2.3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 2.3.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 2^{3}$

Étape 2.3.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x = \pm 8$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ vrai.

$x = 8$