Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{5} (x - 2) + \log_{5} (x + 2) = 1$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 2) (x + 2)) = 1$

Étape 3

Développez $(x - 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 1$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 1$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Étape 4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 2$ et $- 2 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Étape 4.1.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 1$

Étape 4.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 1$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{5} (x^{2} - 2 \cdot 2) = 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$

Étape 5

Réécrivez $\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{1} = x^{2} - 4$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 4 = 5^{1}$ .

$x^{2} - 4 = 5$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5 + 4$

Étape 6.2.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$x^{2} = 9$

Étape 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 6.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 6.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 6.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 6.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$ vrai.

$x = 3$