Pré-calcul Exemples

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{2} (x - 6) + \log_{2} (2 x) = 5$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 6) (2 x)) = 5$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x (2 x) - 6 (2 x)) = 5$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{2} (2 x \cdot x - 6 (2 x)) = 5$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\log_{2} (2 x \cdot x - 12 x) = 5$

Étape 5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $x$ .

$\log_{2} (2 (x \cdot x) - 12 x) = 5$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$

Étape 6

Réécrivez $\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 2 x^{2} - 12 x$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$ .

$2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$

Étape 7.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$2 x^{2} - 12 x = 32$

Étape 7.3

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 12 x - 32 = 0$

Étape 7.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 12 x - 32$ .

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Étape 7.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

Étape 7.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 32 = 0$

Étape 7.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Étape 7.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Étape 7.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

Étape 7.4.2

Factorisez.

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Étape 7.4.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 8, 2$

Étape 7.4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

Étape 7.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 8) (x + 2) = 0$

Étape 7.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 7.6

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.6.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 7.6.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 7.7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 8) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 8, - 2$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$ vrai.

$x = 8$