Pré-calcul Exemples

$\log_{225} (5 x + 5) - \log_{225} (5 x - 9) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{225} (\frac{5 x + 5}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 5$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\log_{225} (\frac{5 (x) + 5}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\log_{225} (\frac{5 (x) + 5 (1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x) + 5 (1)$ .

$\log_{225} (\frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Réécrivez $\log_{225} (\frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}) = \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$225^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (x + 1)}{5 x - 9}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$5 (x + 1) = 225^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$

Étape 4

Simplifiez $225^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$ .

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Étape 4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$5 (x + 1) = {(15^{2})}^{\frac{1}{2}} (5 x - 9)$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (x + 1) = 15^{2 (\frac{1}{2})} (5 x - 9)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 (x + 1) = 15^{2 (\frac{1}{2})} (5 x - 9)$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 (x + 1) = 15^{1} (5 x - 9)$

Étape 4.3

Évaluez l’exposant.

$5 (x + 1) = 15 (5 x - 9)$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x + 1) = 15 (5 x) + 15 \cdot - 9$

Étape 4.5

Multipliez.

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Étape 4.5.1

Multipliez $5$ par $15$ .

$5 (x + 1) = 75 x + 15 \cdot - 9$

Étape 4.5.2

Multipliez $15$ par $- 9$ .

$5 (x + 1) = 75 x - 135$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $75 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 (x + 1) - 75 x = - 135$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 \cdot 1 - 75 x = - 135$

Étape 5.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 x + 5 - 75 x = - 135$

Étape 5.3

Soustrayez $75 x$ de $5 x$ .

$- 70 x + 5 = - 135$

Étape 6

Factorisez $5$ à partir de $- 70 x + 5$ .

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Étape 6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 70 x$ .

$5 (- 14 x) + 5 = - 135$

Étape 6.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$5 (- 14 x) + 5 (1) = - 135$

Étape 6.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 14 x) + 5 (1)$ .

$5 (- 14 x + 1) = - 135$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $5 (- 14 x + 1) = - 135$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $5 (- 14 x + 1) = - 135$ par $5$ .

$\frac{5 (- 14 x + 1)}{5} = \frac{- 135}{5}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 14 x + 1)}{5} = \frac{- 135}{5}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $- 14 x + 1$ par $1$ .

$- 14 x + 1 = \frac{- 135}{5}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 135$ par $5$ .

$- 14 x + 1 = - 27$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 14 x = - 27 - 1$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ de $- 27$ .

$- 14 x = - 28$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- 14 x = - 28$ par $- 14$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- 14 x = - 28$ par $- 14$ .

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 28}{- 14}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 14$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 28}{- 14}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 28}{- 14}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Divisez $- 28$ par $- 14$ .

$x = 2$