Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x + 1))$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1)$

Étape 1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 (x \cdot x) + x)$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x^{2} + x)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$5 x = 2 x^{2} + x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} + x = 5 x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + x - 5 x = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $5 x$ de $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} - 4 x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 4 x = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 2) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (- 2)$ .

$2 x (x - 2) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ vrai.

$x = 2$