Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3}) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Étape 1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x - 3)) = 0$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{x}{2 x + 3}$ par $2 x - 3$ .

$\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x (2 x - 3) = 5^{0} (2 x + 3)$

Étape 4

Simplifiez $5^{0} (2 x + 3)$ .

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Étape 4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x (2 x - 3) = 1 (2 x + 3)$

Étape 4.2

Multipliez $2 x + 3$ par $1$ .

$x (2 x - 3) = 2 x + 3$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x (2 x - 3) - 2 x = 3$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Étape 5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Étape 5.2.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Étape 5.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.4.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x = 3$

$2 x^{2} - 3 x - 2 x = 3$

Étape 5.3

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Étape 6

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} - 5 x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$x (2 x) - 5 x = 3$

Étape 6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Étape 6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$x (2 x - 5) = 3$

Étape 7

Simplifiez $x (2 x - 5)$ .

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Étape 7.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Étape 7.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 7.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 = 3$

Étape 7.1.2.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$2 x \cdot x - 5 \cdot x = 3$

Étape 7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - 5 \cdot x = 3$

Étape 7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x = 3$

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Étape 8

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Étape 9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Étape 9.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $1$ plus $- 6$

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

Étape 9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

Étape 9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 11

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Étape 14

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$ vrai.

$x = 3$