Pré-calcul Exemples

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 1)) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Réécrivez $\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{1}{2}} = x^{2} - x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez $4^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - x = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x = 2^{1}$

Étape 3.2.3

Évaluez l’exposant.

$x^{2} - x = 2$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$ vrai.

$x = 2$