Pré-calcul Exemples

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\ln (x - 1), 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\ln (x - 1)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ par $\ln (x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ par $\ln (x - 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x - 1)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \ln (x - 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez.

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Étape 3.2.1.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 3.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.1.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.1.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.1.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Étape 3.2.1.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 3.2.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

Étape 3.2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Étape 3.2.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Étape 3.2.5

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $x^{2} - 3 x$ et $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.2.6

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Étape 3.2.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Étape 3.2.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Étape 3.2.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.8

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.9

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.9.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.9.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.2.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ vrai.

$x = 3$