Pré-calcul Exemples

$\ln ({(x)}^{\ln (x)}) = 4$

Étape 1

Développez $\ln (x^{\ln (x)})$ .

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Étape 1.1

Développez $\ln (x^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$\ln (x) \ln (x)$

Étape 1.2

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln (x)$

Étape 1.3

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\ln (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln^{2} (x)$

Étape 2

L’équation développée est $\ln^{2} (x) = 4$ .

$\ln^{2} (x) = 4$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (x) = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\ln (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\ln (x) = \pm 2$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\ln (x) = 2$

Étape 3.3.2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\ln (x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’équation comme $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Étape 3.3.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\ln (x) = - 2$

Étape 3.3.6

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Étape 3.3.7

Réécrivez $\ln (x) = - 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Étape 3.3.8

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.8.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Étape 3.3.8.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Étape 3.3.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Forme décimale :

$x = 7.38905609 \dots, 0.13533528 \dots$