Pré-calcul Exemples

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 31$ , $b = 10 \sqrt{3} y$ et $c = 21 y^{2} - 144$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2

Laissez $u = 31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ . Remplacez toutes les occurrences de $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ par $u$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3} y$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $100$ par $3$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{300 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $300 y^{2} - 4 u$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $300 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (75 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - u)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 \cdot (21 y^{2} - 144)))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 (21 y^{2}) + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.5.1.2

Multipliez $21$ par $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.5.1.3

Multipliez $31$ par $- 144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} - 4464))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.5.1.5

Multipliez $651$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 4464$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $651 y^{2}$ de $75 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 576 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.6

Factorisez $144$ à partir de $- 576 y^{2} + 4464$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $144$ à partir de $- 576 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $144$ à partir de $4464$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 144 (31))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $144$ à partir de $144 (- 4 y^{2}) + 144 (31)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.7

Multipliez $4$ par $144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{576 (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.8

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{24^{2} (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{2 \cdot 31}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$ .

$x = \frac{- 5 \sqrt{3} y \pm 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y - 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y + 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$