Pré-calcul Exemples

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ par $45$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ par $45$ .

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $45$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Étape 1.2.1.2

Divisez ${(\frac{2}{5})}^{x}$ par $1$ .

${(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{10}{45}$

Étape 1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{10}{45}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $45$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 (2)}{45}$

Étape 1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $45$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Étape 1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{2}{9}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $5^{x}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $5^{x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{9}$ et $5^{x}$ .

$2^{x} = \frac{2 \cdot 5^{x}}{9}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Étape 4.2

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Étape 4.3

Réécrivez $\ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$ comme $\ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (9)$ comme $\ln (3^{2})$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (3^{2})$

Étape 4.5

Développez $\ln (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - (2 \ln (3))$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - 2 \ln (3)$

Étape 4.7

Réécrivez $\ln (2 \cdot 5^{x})$ comme $\ln (2) + \ln (5^{x})$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + \ln (5^{x}) - 2 \ln (3)$

Étape 4.8

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$

Étape 4.9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.9.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.9.1.1

Simplifiez $\ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Étape 4.9.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.1.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (3^{2})$

Étape 4.9.1.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (9)$

Étape 4.9.1.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) = x \ln (5) + \ln (\frac{2}{9})$

Étape 4.9.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2) - x \ln (5) - \ln (\frac{2}{9}) = 0$

Étape 4.9.3

Ajoutez $\ln (\frac{2}{9})$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Étape 4.9.4

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) - x \ln (5)$ .

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Étape 4.9.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Étape 4.9.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Étape 4.9.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Étape 4.9.5

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Étape 4.9.6

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ par $\ln (2) - \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 4.9.6.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ par $\ln (2) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Étape 4.9.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.9.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) - \ln (5)$ .

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Étape 4.9.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Étape 4.9.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 1.64148489 \dots$