Pré-calcul Exemples

$27 x^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Étape 1

Soustrayez ${(x + 5)}^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$27 x^{3} - {(x + 5)}^{3} = 0$

Étape 2

Simplifiez $27 x^{3} - {(x + 5)}^{3}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$27 x^{3} - (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

Étape 2.1.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}) = 0$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $25$ par $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}) = 0$

Étape 2.1.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$27 x^{3} - x^{3} - (15 x^{2}) - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $75$ par $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 1 \cdot 125 = 0$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $125$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $x^{3}$ de $27 x^{3}$ .

$26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

Étape 3

Factorisez $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Étape 3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{384615}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{076923}, \pm 125, \pm 4.8\overline{076923}, \pm 62.5, \pm 9.\overline{615384}, \pm 5, \pm 0.1\overline{923076}, \pm 2.5, \pm 0.\overline{384615}, \pm 25, \pm 0.9\overline{615384}, \pm 12.5, \pm 1.\overline{923076}$

Étape 3.3

Remplacez $2.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.3.1

Remplacez $2.5$ dans le polynôme.

$26 \cdot {2.5}^{3} - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Étape 3.3.2

Élevez $2.5$ à la puissance $3$ .

$26 \cdot 15.625 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Étape 3.3.3

Multipliez $26$ par $15.625$ .

$406.25 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Étape 3.3.4

Élevez $2.5$ à la puissance $2$ .

$406.25 - 15 \cdot 6.25 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 15$ par $6.25$ .

$406.25 - 93.75 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Étape 3.3.6

Soustrayez $93.75$ de $406.25$ .

$312.5 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 75$ par $2.5$ .

$312.5 - 187.5 - 125$

Étape 3.3.8

Soustrayez $187.5$ de $312.5$ .

$125 - 125$

Étape 3.3.9

Soustrayez $125$ de $125$ .

$0$

Étape 3.4

Comme $2.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125}{2 x - 5}$

Étape 3.5

Divisez $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ par $2 x - 5$ .

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Étape 3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$5$

$26 x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

Étape 3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $26 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$13 x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$

Étape 3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			+	$26 x^{3}$	-	$65 x^{2}$

Étape 3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $26 x^{3} - 65 x^{2}$

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$

Étape 3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$

Étape 3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

Étape 3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $50 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

Étape 3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$125 x$

Étape 3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $50 x^{2} - 125 x$

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$

Étape 3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$

Étape 3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

Étape 3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $50 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

Étape 3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							+	$50 x$	-	$125$

Étape 3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $50 x - 125$

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$

Étape 3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$
										$0$

Étape 3.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$13 x^{2} + 25 x + 25$

Étape 3.6

Écrivez $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

Étape 5

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 6

Définissez $13 x^{2} + 25 x + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $13 x^{2} + 25 x + 25$ égal à $0$ .

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 13$ , $b = 25$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (13 \cdot 25)}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 13 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 13 \cdot 25$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 52 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 52$ par $25$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 1300}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $1300$ de $625$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 675$ comme $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (675)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $675$ comme $15^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $225$ à partir de $675$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $15$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 13}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{26}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$ vraie.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$