Pré-calcul Exemples

$2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \sqrt{2}$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ par $1$ .

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$5 x - \frac{1}{12} \cdot π = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Associez $π$ et $\frac{1}{12}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$5 x - \frac{π}{12} = - \frac{π}{4}$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $\frac{π}{12}$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = - \frac{π}{4} + \frac{π}{12}$

Étape 5.2

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Étape 5.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$5 x = - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x = \frac{- π \cdot 3 + π}{12}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 x = \frac{- 3 π + π}{12}$

Étape 5.5.2

Additionnez $- 3 π$ et $π$ .

$5 x = \frac{- 2 π}{12}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $12$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$5 x = \frac{2 (- π)}{12}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 (6)}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 x = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 x = \frac{- π}{6}$

Étape 5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 x = - \frac{π}{6}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $5 x = - \frac{π}{6}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - \frac{π}{6}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{5}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 6}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{30}$

Étape 7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x - \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 8.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x - \frac{π}{12} = \frac{5 π}{4}$

Étape 8.3

Résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.3.1.1

Ajoutez $\frac{π}{12}$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.2

Pour écrire $\frac{5 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$5 x = \frac{5 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{12}$

Étape 8.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{12}$

Étape 8.3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.5.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$5 x = \frac{15 π + π}{12}$

Étape 8.3.1.5.2

Additionnez $15 π$ et $π$ .

$5 x = \frac{16 π}{12}$

Étape 8.3.1.6

Annulez le facteur commun à $16$ et $12$ .

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Étape 8.3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $16 π$ .

$5 x = \frac{4 (4 π)}{12}$

Étape 8.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 (3)}$

Étape 8.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 3}$

Étape 8.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 x = \frac{4 π}{3}$

Étape 8.3.2

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{4 π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{4 π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Étape 8.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Étape 8.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{5}$

Étape 8.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 8.3.2.3.2

Multipliez $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 8.3.2.3.2.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 5}$

Étape 8.3.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \frac{4 π}{15}$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $5$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Étape 10

Ajoutez $\frac{2 π}{5}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.1

Ajoutez $\frac{2 π}{5}$ à $- \frac{π}{30}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{30} + \frac{2 π}{5}$

Étape 10.2

Pour écrire $\frac{2 π}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{30}$

Étape 10.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $30$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{5}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{5 \cdot 6} - \frac{π}{30}$

Étape 10.3.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{30} - \frac{π}{30}$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{30}$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{30}$

Étape 10.5.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{30}$

Étape 10.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{30}$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (5 x - \frac{1}{12} \cdot π)$ est $\frac{2 π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{11 π}{30} + \frac{2 π n}{5}$ , pour tout entier $n$