Pré-calcul Exemples

$2 \sin (x) - 1 = \frac{3}{\sin (x)}$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, \sin (x), 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\sin (x)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ par $\sin (x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sin^{2} (x) = 3 + 1 \sin (x)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 3 + \sin (x)$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 3$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$2 \sin^{2} (x) + (2 - 3) \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 \sin (x) (\sin (x) + 1) - 3 (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 4.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.5

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $\sin (x)$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 4.6

Définissez $2 \sin (x) - 3$ égal à $0$ et résolvez $\sin (x)$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $2 \sin (x) - 3$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $2 \sin (x) - 3 = 0$ pour $\sin (x)$ .

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Étape 4.6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = 3$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 3$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$ vraie.

$\sin (x) = - 1, \frac{3}{2}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 1$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 6.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 6.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 6.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{3}{2}$ .

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Étape 7.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{3}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$