Pré-calcul Exemples

$2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log (x) - \log (5) - \log (x + 10)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2}) - \log (5) - \log (x + 10) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5}) - \log (x + 10) = 0$

Étape 2.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{5}}{x + 10}) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{1}{x + 10}) = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{x^{2}}{5}$ par $\frac{1}{x + 10}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\log (\frac{x^{2}}{5 (x + 10)}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{x^{2}}{5 (x + 10)}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} = 10^{0} (5 (x + 10))$

Étape 5

Simplifiez $10^{0} (5 (x + 10))$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} = 1 (5 (x + 10))$

Étape 5.1.2

Multipliez $5 (x + 10)$ par $1$ .

$x^{2} = 5 (x + 10)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 5 x + 5 \cdot 10$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $10$ .

$x^{2} = 5 x + 50$

Étape 6

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x = 50$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 5 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 50$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 50$

Étape 8

Simplifiez $x (x - 5)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 50$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 = 50$

Étape 8.2.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 5 x = 50$

Étape 9

Soustrayez $50$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x - 50 = 0$

Étape 10

Factorisez $x^{2} - 5 x - 50$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 50$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 10, 5$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 10) (x + 5) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 13

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 10) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 10, - 5$

Étape 15

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log (x) - \log (5) = \log (x + 10)$ vrai.

$x = 10$