Pré-calcul Exemples

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (x + 3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez $- 3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

Étape 2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

Étape 2.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

Étape 2.1.6

Déplacez $8$ à gauche de $x + 1$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

Étape 5

Simplifiez $e^{0} (8 (x + 1))$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

Étape 5.1.2

Multipliez $8 (x + 1)$ par $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $8$ par $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

Étape 6.2.2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Étape 6.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Étape 6.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Étape 6.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Étape 6.2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Étape 6.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

Étape 6.3

Soustrayez $8 x$ de $6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

Étape 7.2

Soustrayez $9$ de $8$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Étape 8

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Étape 9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 9.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 10

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 11

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$