Pré-calcul Exemples

$2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$x (2 x^{4}) - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x^{3}$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) - 27 x = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 27 x$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2})$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (2 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Étape 1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Étape 1.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ et dont la somme est $b = - 15$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $- 15$ à partir de $- 15 u$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez $- 15$ comme $3$ plus $- 18$

$x (2 u^{2} + (3 - 18) u - 27) = 0$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 u^{2} + 3 u - 18 u - 27) = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((2 u^{2} + 3 u) - 18 u - 27) = 0$

Étape 1.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (u (2 u + 3) - 9 (2 u + 3)) = 0$

Étape 1.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 3$ .

$x ((2 u + 3) (u - 9)) = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 9)) = 0$

Étape 1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 1.7

Factorisez.

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Étape 1.7.1

Factorisez.

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Étape 1.7.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x ((2 x^{2} + 3) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Étape 1.7.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez $2 x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = - 3$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{3}{2}$

Étape 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.2.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.2.4.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 4.2.4.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 4.2.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.2.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 4.2.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 4.2.4.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 4.2.4.7

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Étape 4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Étape 4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Étape 4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}, - 3, 3$