Pré-calcul Exemples

$3 x^{4} + 3 x^{3} - 17 x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$3 x^{3} + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3} + x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x (3 x^{2}) + x + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x (3 x^{2}) + x \cdot 1 + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 6 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

Étape 1.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 u$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} - 17 u - 6 = 0$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $1$ plus $- 18$

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + (1 - 18) u - 6 = 0$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + 1 u - 18 u - 6 = 0$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

Étape 1.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x (3 x^{2} + 1) + 3 u^{2} + u - 18 u - 6 = 0$

Étape 1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x^{2} + 1) + u (3 u + 1) - 6 (3 u + 1) = 0$

Étape 1.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$x (3 x^{2} + 1) + (3 u + 1) (u - 6) = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 1.7

Factorisez $3 x^{2} + 1$ à partir de $x (3 x^{2} + 1) + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $3 x^{2} + 1$ à partir de $x (3 x^{2} + 1)$ .

$(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 1.7.2

Factorisez $3 x^{2} + 1$ à partir de $(3 x^{2} + 1) x + (3 x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Étape 1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(3 x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Étape 1.9

Factorisez $u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(3 x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Étape 1.10

Factorisez.

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Étape 1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(3 x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Étape 1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $3 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 3.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Étape 3.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Étape 3.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 3.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 3.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, 2, - 3$