Pré-calcul Exemples

3 = \log_{x} (512)

$3 = \log_{x} (512)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ .

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$

Étape 2

Réécrivez

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si

x

$x$ et

b

$b$ sont des nombres réels positifs et

b \neq 1

$b \neq 1$ , alors

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

x^{3} = 512

$x^{3} = 512$

Étape 3

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez

512

$512$ des deux côtés de l’équation.

x^{3} - 512 = 0

$x^{3} - 512 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez

512

$512$ comme

8^{3}

$8^{3}$ .

x^{3} - 8^{3} = 0

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où

a = x

$a = x$ et

b = 8

$b = 8$ .

(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Déplacez

8

$8$ à gauche de

x

$x$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Élevez

8

$8$ à la puissance

2

$2$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Étape 3.4

Définissez

x - 8

$x - 8$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez

x - 8

$x - 8$ égal à

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez

8

$8$ aux deux côtés de l’équation.

x = 8

$x = 8$

x = 8

$x = 8$

Étape 3.5

Définissez

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ égal à

0

$0$ .

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs

a = 1

$a = 1$ ,

b = 8

$b = 8$ et

c = 64

$c = 64$ dans la formule quadratique et résolvez pour

x

$x$ .

\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Élevez

8

$8$ à la puissance

2

$2$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot 64

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Soustrayez

256

$256$ de

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Réécrivez

- 192

$- 192$ comme

- 1 (192)

$- 1 (192)$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.5

Réécrivez

\sqrt{- 1 (192)}

$\sqrt{- 1 (192)}$ comme

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.6

Réécrivez

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ comme

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.7

Réécrivez

192

$192$ comme

8^{2} \cdot 3

$8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.2.3.1.7.1

Factorisez

64

$64$ à partir de

192

$192$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.7.2

Réécrivez

64

$64$ comme

8^{2}

$8^{2}$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.9

Déplacez

8

$8$ à gauche de

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.5.2.3.3

Simplifiez

\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Étape 3.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ vraie.

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$