Pré-calcul Exemples

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{4}}$ présent dans chaque terme.

$3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2$

Étape 2

Remplacez $x^{\frac{1}{4}}$ par $u$ .

$3 {(u)}^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Multipliez $5$ par $u$ .

$3 u^{2} + 5 u - 2 = 0$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$3 u^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$3 u^{2} + (- 1 + 6) u - 2 = 0$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 1 u + 6 u - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} - 1 u) + 6 u - 2 = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $3 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $3 u - 1$ égal à $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $3 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u = 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = 1$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Étape 3.5

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 u - 1) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{3}, - 2$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}, - 2$

Étape 5

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez ${(\frac{1}{3})}^{4}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Étape 5.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1}{3^{4}}$

Étape 5.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$x = \frac{1}{81}$

Étape 6

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} = - 2$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 2)}^{4}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 2)}^{4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$x = 16$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{1}{81}, 16$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} = 2$ vrai.

$x = \frac{1}{81}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{81}$

Forme décimale :

$x = 0.01234567 \dots$