Pré-calcul Exemples

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log_{2} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

Étape 3

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

Étape 5

Simplifiez $2^{4} (x + 5)$ .

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Étape 5.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x^{2} = 16 (x + 5)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

Étape 5.3

Multipliez $16$ par $5$ .

$x^{2} = 16 x + 80$

Étape 6

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 16 x = 80$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 16 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 16 x = 80$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- 16 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$x (x - 16) = 80$

Étape 8

Simplifiez $x (x - 16)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

Étape 8.2.2

Déplacez $- 16$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 16 x = 80$

Étape 9

Soustrayez $80$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

Étape 10

Factorisez $x^{2} - 16 x - 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 80$ et dont la somme est $- 16$ .

$- 20, 4$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 20) (x + 4) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 20$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 20$ égal à $0$ .

$x - 20 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 20$

Étape 13

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 20) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 20, - 4$

Étape 15

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ vrai.

$x = 20$