Pré-calcul Exemples

$2 \log_{7} (1 - x) = \log_{7} (7 - x)$

Étape 1

Simplifiez $2 \log_{7} (1 - x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{7} ({(1 - x)}^{2}) = \log_{7} (7 - x)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

${(1 - x)}^{2} = 7 - x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

${(1 - x)}^{2} + x = 7$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez ${(1 - x)}^{2}$ comme $(1 - x) (1 - x)$ .

$(1 - x) (1 - x) + x = 7$

Étape 3.1.2.2

Développez $(1 - x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - x) - x (1 - x) + x = 7$

Étape 3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + x = 7$

Étape 3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

Étape 3.1.2.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + x = 7$

Étape 3.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - x - x - x (- x) + x = 7$

Étape 3.1.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + x = 7$

Étape 3.1.2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + x = 7$

Étape 3.1.2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + x = 7$

Étape 3.1.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - x - x + 1 x^{2} + x = 7$

Étape 3.1.2.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$1 - x - x + x^{2} + x = 7$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$1 - 2 x + x^{2} + x = 7$

Étape 3.1.3

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$1 + x^{2} - x = 7$

Étape 3.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$1 + x^{2} - x - 7 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $7$ de $1$ .

$x^{2} - x - 6 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 3, - 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log_{7} (1 - x) = \log_{7} (7 - x)$ vrai.

$x = - 2$