Pré-calcul Exemples

$2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

La base logarithmique $8$ de $16$ est $\frac{4}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) + \frac{4}{3} = 2$

Étape 1.2

Pour écrire $2 \log_{8} (x - 2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez $2 \log_{8} (x - 2)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Étape 1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4}{3} = 2$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 4}{3} = 2$

Étape 1.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2}{3} = 2$

Étape 1.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 2)}{3} = 2$

Étape 1.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $\log_{8} (x - 2)$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} = 2$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Simplifiez $3 \log_{8} (x - 2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Étape 3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Étape 3.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2) = 2 \cdot 3$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez $2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Étape 3.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Étape 3.1.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{3 \cdot 2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Étape 3.1.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 2 \cdot 3$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 6$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\log_{8} ({(x - 2)}^{6})$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 6 - 4$

Étape 4.1.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$

Étape 4.2

Réécrivez $\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{2} = {(x - 2)}^{6}$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme ${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$ .

${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$

Étape 4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{8^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{8^{2}}$ .

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Étape 4.3.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{64}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Étape 4.3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - 2 = \pm 2$

Étape 4.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 2 = 2$

Étape 4.3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2 + 2$

Étape 4.3.4.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x = 4$

Étape 4.3.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 2 = - 2$

Étape 4.3.4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.4.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 2 + 2$

Étape 4.3.4.4.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$x = 0$

Étape 4.3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, 0$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$ vrai.

$x = 4$