Pré-calcul Exemples

$x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 28 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\frac{4}{3}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 28 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{2}{3}}$ par $u$ .

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 3 u - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $3$ .

$- 4, 7$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 4) (x^{\frac{2}{3}} + 7) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$

$x^{\frac{2}{3}} + 7 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{\frac{2}{3}} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{\frac{2}{3}} - 4$ égal à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Simplifiez $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 2^{3}$

Étape 3.2.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x = \pm 8$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 4

Définissez $x^{\frac{2}{3}} + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{\frac{2}{3}} + 7$ égal à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 7 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{\frac{2}{3}} + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{2}{3}} = - 7$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.1.2

Simplifiez

$x = \pm {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = {(- 7)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{2}{3}} - 4) (x^{\frac{2}{3}} + 7) = 0$ vraie.

$x = 8, - 8, {(- 7)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 28 = 0$ vrai.

$x = 8, - 8$