Pré-calcul Exemples

$e^{n} = 3^{n + 2}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{n}) = \ln (3^{n + 2})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln (e^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$n \ln (e) = \ln (3^{n + 2})$

Étape 2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$n \cdot 1 = \ln (3^{n + 2})$

Étape 2.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$n = \ln (3^{n + 2})$

Étape 3

Développez $\ln (3^{n + 2})$ en déplaçant $n + 2$ hors du logarithme.

$n = (n + 2) \ln (3)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$n = n \ln (3) + 2 \ln (3)$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) = - n$

Étape 6

Ajoutez $n$ aux deux côtés de l’équation.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) + n = 0$

Étape 7

Ajoutez $2 \ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$- n \ln (3) + n = 2 \ln (3)$

Étape 8

Factorisez $n$ à partir de $- n \ln (3) + n$ .

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Étape 8.1

Factorisez $n$ à partir de $- n \ln (3)$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Étape 8.2

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Étape 8.3

Factorisez $n$ à partir de $n^{1}$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1 = 2 \ln (3)$

Étape 8.4

Factorisez $n$ à partir de $n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1$ .

$n (- 1 \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Étape 9

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ par $- \ln (3) + 1$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ par $- \ln (3) + 1$ .

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (3) + 1$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Étape 10.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) - 1 (- 1)}$

Étape 10.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3) - 1 (- 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- (\ln (3) - 1)}$

Étape 10.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 10.3.4.1

Réécrivez $- (\ln (3) - 1)$ comme $- 1 (\ln (3) - 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- 1 (\ln (3) - 1)}$

Étape 10.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Forme décimale :

$n = - 22.28144795 \dots$