Pré-calcul Exemples

$\sin (15) = (\frac{1}{2}) \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (45 - 30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.2

Séparez la négation.

$\sin (45 - (30)) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2}$

Étape 3

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} \cdot 2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} \cdot 2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 (2)} \cdot 2$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Résolvez $A$ .

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Étape 6.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{A - \sqrt{B}}}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ comme ${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(A - \sqrt{B})}^{1} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

$A - \sqrt{B} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez ${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.2.3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4}$

Étape 6.2.3.1.1.3

Réécrivez ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.2

Développez $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.1.3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.5

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 6.2.3.1.3.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.9

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 6.2.3.1.3.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.9.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.10

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.3.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.13

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 6.2.3.1.3.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.13.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.13.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.13.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.2.3.1.3.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1.3.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.3.1.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $8 - 4 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 6.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.3.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 6.2.3.1.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4}$

Étape 6.2.3.1.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Étape 6.2.3.1.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$A - \sqrt{B} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Étape 6.2.3.1.4.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$A - \sqrt{B} = 2 - \sqrt{3}$

Étape 6.3

Ajoutez $\sqrt{B}$ aux deux côtés de l’équation.

$A = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{B}$